Le contrat de l'actuel sélectionneur, qui doit expirer à la fin du championnat d'Europe, sera prolongé si l'équipe "réussit" et "joue bien" en France, a indiqué M. Dyke, qui quitte pour sa part son poste cet été.
"Clairement, si on va jusqu'aux demi-finales, c'est un succès", a-t-il précisé. "Si nous jouons bien mais que nous perdons, malheureusement, contre une bonne équipe ou aux tirs au but (en quarts de finale), alors on continuera d'en discuter", a ajouté le patron de la FA.
En tête du groupe B avec 4 points après un nul contre la Russie (1-1) et une victoire au finish sur le pays de Galles (2-1), l'Angleterre a besoin d'un point contre la Slovaquie, lundi à Saint-Etienne, pour s'assurer une place en huitièmes de finale.
Hodgson, âgé de 68 ans et qui a succédé à Fabio Capello en 2012, avait déjà fait savoir qu'il souhaiterait poursuivre sa mission à la tête des Trois Lions.
"Cela a été soulevé à maintes reprises auparavant. Cela ne fait aucune différence, dans un sens ou dans l'autre", a-t-il réagi dimanche en conférence de presse à Saint-Etienne.
"Chacun sait que mon contrat expirera après le tournoi, donc rien n'a changé en ce qui me concerne", a ajouté Hodgson. "La seule chose que nous ayons en tête, c'est de gagner (lundi) pour voir jusqu'où nous pouvons aller."
Il y a deux ans, il avait survécu à l'élimination de l'Angleterre au premier tour du Mondial-2014.